2009年8月29日土曜日

【論文】p = k ( ρ - ρ0 )でのρ0の意味


Mullerらの"Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications"では、圧力pを密度ρから求める際に、定常密度ρ0を引いて
p = k(ρ - ρ0)
としている(kは定数)。ρ0を引く理由としてMullerらは、
... Since pressure forces depend on the gradient of the pressure field, the offset mathematically has not effect on pressure forces. However, the offset does influence the gradient of a field smoothed by SPH and makes the simulation numerically more stable. ...
と述べている。

なんのこっちゃ?

オフセット(ρ0)が数学的に圧力に影響を与えないといいつつ、それによってシミュレーションがより安定化するといっている。しかし、数学的に影響を与えないのであれば、安定化するもなにもないではないか。

そこで、引用元である、Desbrunの"Smoothed Particels: A new paradigm for animating highly deformable bodies"の中で、なぜρ0が導入されているのかを見てみた。

Desbrunらによると、
... In astrophysics applications, pressure forces were often combined with gravitational forces balancing the expansion phenomenon.
  In contrast, we would like to animate materials with constant density at rest. Consequently, the material sould exhibit some internal cohesion, resulting in attraction-repulsino forces as in the Lennard-Jones model. ...
とある。

なるほど。

もともとSPHは天体のシミュレーションで用いられていた手法なので、真空中での粒子の運動を対象としている。一方で、Desbrunらが行おうとしている大変形体のシミュレーションは、大気中での運動が対象となる。

大気中での運動なので、本来であれば、大変形体の周りに空気があって、その気圧と大変形体の圧力が釣り合っていないといけない。

それを論文でどう扱っているかというと、周りの空気も粒子としてシミュレーションに含めるのではなく、その代わりに、ρからρ0を引いて気圧の影響を補正した圧力を用いるという方法をとっている。つまり、定常状態での圧力を仮想的に0気圧となるようにオフセットをとって計算している。

つまり、定常状態での圧力を仮想的に0気圧とすることで、気圧と大変形体の圧力を釣り合わせているということになる。

実際に、ρ0を変えてシミュレーションをしてみた。

【ρ0=600】
video

【ρ0=300】
video

【ρ0=0】
video

確かに、ρ0が小さくなるにつれて、粒子が空気中に広がっていっている様子がわかる。ρ0=0に至っては、まさに真空中に拡散しているように見える結果が得られた。

結論
圧力pを密度ρから求める際に定常密度ρ0を引いてp = k (ρ - ρ0)とするのは、気圧の影響を加味して粒子が拡散してしまわないようにするためだった。SPHを宇宙から地球上に持ってくるわけですな。

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